几何画板解析2017年江西中考倒二(函数相关)
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(2017·江西)已知抛物线C1:y=ax2﹣4ax﹣5(a>0).
(1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴;
(2)①试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标;
②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式;
(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值.
图文解析:
(1)常规题,不做详解.答案如下:
将a=1代入解析式,得:
y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9,
∴对称轴为直线x=2;
∴当y=0时,(x﹣2)2﹣9=0
x﹣2=3或﹣3,即x=﹣1或5;
∴抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1,0)或(5,0);
(2)①先观察动态演示:(自动演示)
(观察动画,可知抛物线经过两定点)下面分析两定点如何求出?
法一:由y=ax2﹣4ax﹣5=ax(x﹣4)﹣5得:当ax(x﹣4)=0,即x=0或x=4时,y的值恒定为﹣5.由此可得:抛物线C1一定经过两个定点(0,﹣5),(4,﹣5).
法二:将y=ax2﹣4ax﹣5整理得:x(x﹣4)a=y+5,即整理成关于a的一元一次方程一般形式,根据定点的定义,不论a为何值,这个等式均成立,所以可根据“0乘以任何数都等于0”得到:x(x﹣4)=0且y+5=0,从而得到两定点坐标.
法三:也可先取a的两特殊值,写出两抛物线的解析式,再联立求出交点坐标,再将求出的交点代入验证。
小结:法一,对本题而言最快,但不能用,对于非特殊形式的解析式(如三个系数均含参且不成比例)无法直接得到,上述的第二、三种为通法,对于任何求定值问题的试题均可适用,法三虽麻烦,但也是最好理解的,计算量较大,因此取特殊值有些技巧,因此建议用第二种方法。
②如下图,过两个定点的直线为y=﹣5;
法一(最快解法):将抛物线C1沿y=﹣5翻折,得到抛物线C2,开口方向变了,但是对称轴没变;即a变为-a,对称轴仍然为x=2,相应地C2中的一次函数应为+4a,所以抛物线C2解析式为:y=﹣ax2+4ax﹣5.
法二(常规解法):抛物线C1配方得:
y=a(x﹣2)2﹣4a-5,得顶点坐标为(2,-4a-5),关于直线y=-5(两定点所在的直线)对称后的抛物线C2,的顶点坐标为(4a-5),如下图示.
反思:此法对本题来说虽麻烦,但它是通法,只需已知顶点和a的值,即可得到函数解析式.
(3)当抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,显然有两种可能,如下图示:
方法一:直接利用上述的结论:顶点坐标为(4a-5),依题意,得4a-5=2或4a-5=-2,解得:a=7/4或a=3/4.
方法二:抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,则抛物线过(2,2)或(2,-2)(就是顶点坐标).当y=2时,2=﹣4a+8a﹣5,解得a=7/4;当y=﹣2时,﹣2=﹣4a+8a﹣5,解得,a=3/4.
∴a=3/4或7/4.
反思:本题需注意两种情况。
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